Topic: [Aflevering 6] - Opdracht 2: De handpop van de Mol

[MartinJ]

Klopt helemaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen moet je kansen vermenigvuldigen.

[Molest]

 
Dacht ik al, maar ik had lichte twijfel. Dank voor de bevestiging.
1,7% kans dus dat dit allebei toeval was, en 98,3% kans dat dit geen toeval was. En geen toeval betekent molwerk.

[Molekule]

Dat mag je inderdaad vermenigvuldigen.
Maar je kan best met 3,25% als kans rekenen (10 opeenvolgende 100,200 of 300 kaarten gegeven 400 op positie 1 en stopkaart op positie 12).
Die 9% hield nog geen rekening met de stopkaart op positie 12. Indien wel kom je op 19% (eerste 11 kaarten ten hoogste 400).

[Molest]

Ah, dan zou de kans dus nog kleiner worden. Hoe dan ook: twee zulke gebeurtenissen, met allebei een lage kans, is een heel dikke verdacht aantekening in het dossier Comfort.

[Leendert]

Dacht ik al, maar ik had lichte twijfel. Dank voor de bevestiging.
1,7% kans dus dat dit allebei toeval was, en 98,3% kans dat dit geen toeval was. En geen toeval betekent molwerk.

Nee. Zo werkt het dan weer niet.

Ik geloof dat de berekening van 10 opeenvolgende kaarten ook meerekent dat er geen nul kaart komt, maar de mol kon daarover niet liegen en de mol wilde de nul kaart juist. Het beste kun je de positie van de nul als vaststaand beschouwen, omdat een mol daarover geen invloed heeft en niet over kan liegen. Zoals Molekule al berekende, moet je dan van 16,3% uitgaan (en niet 9%). Dat krijgt je al naar 3%.

Het is 3% kans dat dat gebeurt als Comfort niet de mol is. Maar hoe groot is de kans dat het op die manier gebeurt als Comfort de mol is? Die kans is lastig in te schatten, maar die is geen 100%.

Daarnaast moet je inschatten hoe groot je de kans inschatte voordat deze informatie aan het licht kwam. Laten we zeggen dat dat 1/3 was. Als we aannemen dat de mol 100% deze tactiek bij beide opdrachten zou toepassen (ervan uitgaande dat ze in die positie zat) (wat ik dus niet geloof), krijgt je dus: (1/3)/(1/3 + 2/3*3%) = 94% kans dat Comfort de mol is (onder Bayes formule).

Dat klinkt hoog, maar (1) de aanname dat de mol 100% dit zou doen klopt niet, (2) er zijn duizenden andere feiten die je zou kunnen kiezen (wat is de kans dat de mol in positie x wil staan? Wat is de kans dat de mol tongen brekers verhaspelt? Etc etc) en (3) je hebt nu twee feiten gekozen die erg mols van Comfort zijn (het zou eerlijker zijn al het andere wat er gebeurd is in het spel door dezelfde berekening te trekken en zien wat de resultaten zijn - iets wat ik een keer geprobeerd heb, maar uiteindelijk gaan daar zoveel inschattingen in dat het nooit ver van intuïtie afligt).

[Molekule]

 ::bravo::Ok, regel van Bayes met volgende aannames:
- a priori kans dat Commy de mol is 1/3 (dus 1 tegen 2)
- kans dat 10x kleine kaart zich voordoet met stopkaart op pos 12 als Commy niet de mol is = 3,25%
- kans dat 10x kleine kaart zich voordoet met stopkaart op pos 12 als Commy de mol is = 9/19 * 8/18 = 21%. Ik ga er hierbij veiligheidshalve vanuit dat de mol een 400 kaart niét omwisselt naar een kleine kaart.

Dit geeft een waarschijnlijkheidsratio van 21/3,25 ~ 6,5.
Regel van Bayes: 1/2 * 21/3,25 geeft 6,5 tov 2 => 6,5/8,5 = 76%
Hierdoor stijgt de kans dat Commy de mol is dus van 1/3 naar 76%. 

Als we ook de DeLorean proef meenemen:
- kans dat kandidaat Commy 4 foute antwoorden geeft gegeven dat ze antwoorden kan uitsluiten = 18,75%
- kans dat mol Commy 4 foute antwoorden geeft, is lastig te bepalen. Maar laat ons aannemen dat die kans groot is aangezien Leila en Lieselot al voor geld gezorgd hebben en dat moet omgebogen worden. Kans = 90%.
Probabiliteit ratio is hier ongeveer 5.

De twee ratio’s met elkaar vermenigvuldigd komt dan op 6,5 * 5 = 32,5.
Wat neerkomt op (regel van Bayes) 1/2 * 32,5 => 32,5/34,5 = 94%.

Van 1/3 naar 94% dus. 

Niet getreurd, wie op basis van andere proeven de kans dat Commy de mol is op heel laag inschat, stel 3%, ziet die kans stijgen tot ongeveer 50%. 

[Pac]

Waarom zou je de aanname doen dat Comfort (mol of kandidaat) de 400 euro de eerste keer niet en vervolgens toch wel pakt? Toos moedigt haar nog aan om alleen een groot bedrag te pakken. Je definitie van een kleine kaart is zo wel heel smal.

Ook pak je hiermee willekeurige opdrachten die je ineens combineert. Waarom niet meewegen dat Comfort Ruben uitkiest als duelpartner bijvoorbeeld (50% kans), een keuze die de pot al zeker 1000 euro oplevert?

[Molekule]

Waarom zou je de aanname doen dat Comfort (mol of kandidaat) de 400 euro de eerste keer niet en vervolgens toch wel pakt? Toos moedigt haar nog aan om alleen een groot bedrag te pakken. Je definitie van een kleine kaart is zo wel heel smal.

Ook pak je hiermee willekeurige opdrachten die je ineens combineert. Waarom niet meewegen dat Comfort Ruben uitkiest als duelpartner bijvoorbeeld (50% kans), een keuze die de pot al zeker 1000 euro oplevert?

Het gaat over liegen over 400 na de eerste keer, niet om ze te pakken. Mijn aanname is dat Comfort dat niet doet, ook niet als mol. Als kandidaat is daar sowieso geen enkele reden toe. Als ik zou aannemen dat de mol dat wel doet zou de ratio een pak groter zijn, maar daar mag ik voor een safe assumption niet vanuit gaan.

Combineren is sowieso tricky, daar volg ik je in.
Hoe minder variantie op de geschatte kans, hoe beter. In jouw voorbeeld hangt dit bijvoorbeeld heel erg van interpretatie af wat een objectieve inschatting lastig maakt.
Wellicht is de DeLorean proef daar toch ook te complex voor (kans dat de mol een rood scherm krijgt, kans dat de mol het op die manier kan faken, …). Maar als je ervan uit gaat dat de mol evenveel kans maakt op een rood scherm en perfect kan acteren als het moet, kan je hier dezelfde redenering maken (met een iets lagere geschatte ratio).
En ja, mag je die combineren en zal het een nog beter beeld geven.

Als we het veiligheidshalve toch enkel op de kaartenproef houden verhoogt de kans dat Comfort de mol is gevoelig, maar de a posteriori kans hangt af van hoe je ze als mol inschat in de rest van de proeven en wordt haar molschap ook niet onomstootbaar. Omdat de 10 opeenvolgende lage kaarten ook voor de mol geen alledaagse gebeurtenis is, als die de 400 niet liegt.

Hiermee rond ik het af denk ik 😃

[Pac]

Ik probeer je te volgen. Voor mij zijn de "kleine kaarten" en de 400-kaarten volledig identiek. Dat er toevallig geen/weinig 400-kaarten meer komen na de eerste doet er voor mij niet toe: in alle gevallen had Comfort doorgespeeld, of ze nu kandidaat was of mol.

Als je alle kaarten onder de 1000 als gelijkwaardig ziet, dan kom je met dezelfde berekening uit op de 16,3% die je eerder al noemde. Wat jij doet is een speciale uitzonderingsregel maken voor de 400 euro, en dat is volgens mij nergens voor nodig.

Ook de 400 euro van het begin heb je 'apart gelegd', terwijl dat wel degelijk een normale speelbeurt is, uitgaande van normaal spelverloop. Jouw berekening is (15!/5!)/(19!/9!), terwijl die van mij (17!/6!)/(19!/8!) is. Klopt het wat ik zeg?

[Vonne1968]

Ik ben afgehaakt met al dat gegoochel met cijfers 

Voor mij is de conclusie:
1) Kan Commy gemold hebben tijdens die reeks lage cijfers? Ja, dat kan ze.
2) Kan ze echt zo'n reeks met lage cijfers hebben gehad? Ja, dat kan ze.

Ik kijk maar naar de rest van alle opdrachten om mijn mol te kiezen   

[MartinJ]

Je hoeft maar één ding te onthouden van dit gegoochel met cijfers:
De kans dat Comfort na die eerste 400 vervolgens 10 kaarten trekt in de range 100..300 is 1,6%.
Kan ze dat echt hebben getrokken? Ja
Is dat waarschijnlijk? Nee, temeer omdat we 3 kaarten aan het begin niet mochten zien.
En omdat de kansberekening vaker weinig vat op Comfort lijkt te hebben.
Bij de eerste paar kaarten is het nog vrij risicoloos om een 1000 of 2000 kaart weg te bluffen. Later in het spel is dit gevaarlijker.

[Tunnelgraver]

Je hoeft maar één ding te onthouden van dit gegoochel met cijfers:
De kans dat Comfort na die eerste 400 vervolgens 10 kaarten trekt in de range 100..300 is 1,6%.
Kan ze dat echt hebben getrokken? Ja
Is dat waarschijnlijk? Nee, temeer omdat we 3 kaarten aan het begin niet mochten zien.
Bij de eerste paar kaarten is het nog vrij risicoloos om een 1000 of 2000 kaart weg te bluffen. Later in het spel is dit gevaarlijker.

Ik lees momenteel het boek 'Het onwaarschijnlijkheidsprincipe' van David Hand. Mensen die twee keer de hoofdprijs in een loterij winnen, 26 keer zwart op rij bij roulette, binnen vier dagen tijd exact dezelfde zes lottoballetjes: het is allemaal al eens gebeurd.
 

[Pac]

Je kunt altijd op basis van een gegeven reeks altijd heel specifieke eisen stellen waar die aan voldoet, en dan zal de kans steeds onwaarschijnlijker lijken. Maar zo ingewikkeld hoef je het niet te maken.

In de praktijk verwacht je dat Comfort met haar speltactiek (doorspelen tot 1000 of 2000 valt) een kans van twee op drie op succes heeft. Oftewel: de dobbelsteen moet op een drie of hoger vallen voor dit scenario. Comfort gooit één, nota bene het laagste cijfer op de dobbelsteen. Is dat heel toevallig? Nee, valt wel mee.

[Molekule]

Ik probeer je te volgen. Voor mij zijn de "kleine kaarten" en de 400-kaarten volledig identiek. Dat er toevallig geen/weinig 400-kaarten meer komen na de eerste doet er voor mij niet toe: in alle gevallen had Comfort doorgespeeld, of ze nu kandidaat was of mol.

Als je alle kaarten onder de 1000 als gelijkwaardig ziet, dan kom je met dezelfde berekening uit op de 16,3% die je eerder al noemde. Wat jij doet is een speciale uitzonderingsregel maken voor de 400 euro, en dat is volgens mij nergens voor nodig.

Ook de 400 euro van het begin heb je 'apart gelegd', terwijl dat wel degelijk een normale speelbeurt is, uitgaande van normaal spelverloop. Jouw berekening is (15!/5!)/(19!/9!), terwijl die van mij (17!/6!)/(19!/8!) is. Klopt het wat ik zeg?

De 400 euro bij de start leg ik inderdaad apart, omdat ik ervan uitga dat die altijd getoond zal worden.
Daarna volgt een reeks van 10, waarvan in de edit altijd kan bepaald worden welke wel of niet getoond worden.
Noem het de "window of opportunity" voor de mol.
Dan volgt de stopkaart op positie 12.

Ik zoom inderdaad bewust in op de kleine kaarten (100, 200, 300) omdat dit ook de reële situatie is, en ik de kans wil berekenen dat deze voorkomt, in het geval van kandidaat Comfort t.o.v. mol Comfort.
Door 400 (die ook niet voorkomt in die reeks) niet mee te nemen, wordt die vergelijking geaccentueerd want het is ook net daar dat de mol het verschil maakt (een hoge kaart vervangen door een 100, en indien nodig later in het spel 200). Had er geen 300 gevallen, dan had ik die ook weggelaten.
Overigens spreken we nog steeds over 15 van de 21 kaarten, en dus heel veel mogelijkheden om die op een bepaalde manier te trekken. Dat zijn m.a.w. geen heel specifieke eisen.

Het is wel zo dat het ook voor mol Comfort geen evidente reeks is, tenminste als je ervan uitgaat dat ze geen 400 gaat "liegen" naar 100 (wat me ook niet logisch lijkt, gezien ook het groeiende risico naarmate de stapel kleiner wordt). Onder die voorwaarden is bij haar de kans 21%.
Resultaat is dat het 6,5x waarschijnlijker is in geval Comfort de mol is dan in geval ze het niet is.

Mijn berekening is idd (15!/5!)/(19!/9!).
Die van jou lijkt me (18!/7!)/(20!/9!) als je de eerste kaart meerekent, en 400 ook onder de kleine kaarten rekent. Dat is 18,9%.

[Leendert]

Je kunt altijd op basis van een gegeven reeks altijd heel specifieke eisen stellen waar die aan voldoet, en dan zal de kans steeds onwaarschijnlijker lijken. Maar zo ingewikkeld hoef je het niet te maken.

In de praktijk verwacht je dat Comfort met haar speltactiek (doorspelen tot 1000 of 2000 valt) een kans van twee op drie op succes heeft. Oftewel: de dobbelsteen moet op een drie of hoger vallen voor dit scenario. Comfort gooit één, nota bene het laagste cijfer op de dobbelsteen. Is dat heel toevallig? Nee, valt wel mee.

Eens.

De kans dat de speltactiek doorspelen tot 1000 of 2000 valt succes heeft, heeft 2/3 kans. Dat betekent dat er een kans van 1/3 is dat het zou falen (wat hier gebeurde).

Als we daar bovenop kaart 1 als vaststaand nemen (dat is geen gevolg van tactiek en aanname dat er niet over die kaart geliegd wordt) en ook dat positie 12 van de stopkaart vaststaat, dan heeft die tactiek een kans van slagen van c 79% (1 - (9/19 * 8/18)) en dus de kans van falen is 21% (dit wordt 18% als we kaart 1 niet als vaststaand nemen). Minder dan 50%, maar nog steeds niet heel verrassend.

Als we aannemen dat Comfort na de eerste ronde bij een 400 kaart ook gestopt was, had haar tactiek een grotere kans van slagen. Maar was dat haar tactiek? Klopt het dat er geen 400 kaarten voorkwamen in kaarten 2 t/m 4, of is dat een aanname?

Als Comfort de mol is, vind ik het rationeel om te liegen over 1.000 en 2.000 kaarten, omdat het risico tegen de lamp lopen relatief klein is en het afweegt tegen het risico van een groot pak geld. Liegen over 400 vergroot het risico tegen de lamp lopen met veel en het geldbedrag is te klein om het risico te rechtvaardigen. Het is best mogelijk dat Comfort de mol is en hier irrationeel risico neemt, maar daar ga ik niet vanuit. Dus dan is de 21% kans het referentiepunt.

Natuurlijk: als we 21% met 18% vermeningvuldigen, dan worden twee kleine toevalligheden samen wel een grote toevalligheid (wat de Bayesiaanse kans van Comfort als mol omhoog doet schieten). Maar zoals anderen ook al zeiden: we moeten ervoor waken dat we niet de kansen 'cherry picken'. Als je de twee statistisch meest verdachte feiten na elkaar zet, is het niet verrassend dat daar een kleine waarschijnlijkheid krijgt. Er gebeuren in het dagelijks leven voortdurend dingen met een kleine waarschijnlijkheid en dat is geen teken van doorgestoken kaart. Je moet dat afwegen ten opzichte van al het andere dat gebeurd is.

Kortom: niet doorslaggevend, maar wel verdacht allemaal.

[Belgian Mol]

Kansrekening technisch, bij een kandidaat die ook nog maar een beetje verdacht was dit seizoen zouden er een zo een situatie grote alarmbellen afgaan. Nu is dat niet het geval, maar het geeft toch al geen goed gevoel.

[Heinz]

Comfort was hier op het forum al de hoofdverdachte na aflevering 3. (Daarna zakte ze weg om nu weer hoofdverdachte te zijn.) Dus een beetje verdacht dit seizoen was ze al.

[Belgian Mol]

Het gaat over mijn mening natuurlijk . Sinds de bunker ben ik al op de Comforttunnel aan het bonken.

[Heinz]

O was jij dat? Wat een pokkelawaai.

[Belgian Mol]

Yep, nog voor het rode scherm had ik al enkele kruizen door haar naam staan. Maar terug on-topic. Deze kans is inderdaad moeilijker verklaarbaar, maar dan vind ik de foute code van Toos in de bunker nog moeilijker verklaarbaar. Ik heb in de tijd al een wankelende poging gedaan en dat is niet goed gelukt. Deze kans hier blijft een kans.